Bài giảng này viết về khái niệm tập hợp, một khái niệm nền móng và cơ bản của Toán Học hiện đại. Khái niệm tập hợp giữ vai trò đặc biệt quan trọng trong Toán Học, không chỉ vì cho đến nay, lý thuyết Tập Hợp đã trở thành một nhánh rộng rãi và phong phú, mà còn vì từ sự xuất hiện từ chừng hai thế kỷ trước, lý thuyết Tập Hợp đã và vẫn đang có những ảnh hưởng sâu sắc đến toàn bộ Toán Học. Ở phạm vi bài viết này, tôi chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản thuần túy, cùng các phép toán trên tập cơ bản nhất như giao, hợp, hiệu các tập. Một mục đích nữa của bài giảng, là cung cấp nền tảng khởi đầu cho môn Tổ Hợp. Vì thế, nên trong bài giảng có bàn đến các quy tắc xác định lực lượng tập hợp như nguyên lý cộng, bù trừ và nguyên lý nhân. Read the rest of this entry »
You are currently browsing the archive for the Số Học category.
Định lý Beaty. Cho $a;\,b\in\mathbb R^+\setminus \mathbb Q$ thoả $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$, đặt $$\mathcal A=\left\{\left\lfloor an\right\rfloor:\;n\in\mathbb Z^+\right\},\;\mathcal B=\left\{\left\lfloor bn\right\rfloor:\;n\in\mathbb Z^+\right\}.$$ Khi đó\[\mathcal A\cap\mathcal B=\emptyset\;\text{và}\;\mathcal A\cup\mathcal B=\mathbb Z^+.\]
Chứng minh. Dễ thấy $\mathcal A$ và $\mathcal B$ đều là tập con của $\mathbb Z^+$, giả sử $\mathcal A\cap\mathcal B\ne\emptyset$ khi đó sẽ phải tồn tại các số nguyên dương $k;\,l;\,m$ sao cho\[\left\lfloor ka\right\rfloor=\left\lfloor lb\right\rfloor=m\]
Để ý rằng $ka;\,lb\notin\mathbb Q$ nên điều đó dẫn đến Read the rest of this entry »
Tags: Hàm Phần Nguyên, Hàm Số Học, Phân Hoạch, Số Học, Số Vô Tỷ, Trù Mật
Chúng ta thấy rõ ràng rằng, nếu cơ số $a$ nguyên (để tránh trường hợp tầm thường thì $|a|\ne 1$) và số mũ $n$ rất lớn thì việc tính trực tiếp giá trị của $a^n$ sau đó mới lấy giá trị đó thực hiện phép chia cho $m$ để tìm dư, là một việc thường không thực tế.
Một ví dụ đơn giản, là bài toán tìm 5 chữ số tận cùng của $5^{2016}$. Về bản chất, thì công việc đó chính là đi tìm số dư của $5^{2016}$ trong phép chia cho $10^5$. Vì $10^5=2^5.5^5$ và dễ nhận ra rằng $5^5\mid 5^{2016}$ nên vấn đề sẽ quy về tìm số dư của $5^{2016}$ khi đem chia nó cho $2^5$. Công việc sau đó, chỉ là kết hợp 2 đồng dư để cho ta kết quả số dư khi chia $5^{2016}$ cho $10^5$.
Rõ ràng, việc tính ra giá trị của $5^{2016}$ sau đó đem chia cho $2^5$ rồi xem dư bao nhiêu là một chuyện không tưởng (nhất là nếu không có sự hỗ trợ của Read the rest of this entry »
Tags: Cấp và căn theo modulo, Đồng Dư, Số Học
Cuộc sống, được chúng ta nhận thức qua sự hiện hữu và vận động của các thành tố trong nó. Khi tồn tại để vận động và phát triển, các đối tượng tương tác với nhau theo những quy luật được xác định, để rồi có những ảnh hưởng đến giá trị về lượng và chất tương ứng. Chính sự tương tác ảnh hưởng qua lại giữa các đối tượng của cuộc sống, giúp chúng ta nhận thức được bản chất các đối tượng đó theo nhiều góc nhìn. Read the rest of this entry »
Tags: Ánh Xạ, Đại Số, Dãy Số, Giải Tích, Hàm Đặc Trưng, Hàm Số, Hình Học, Nhóm, Phép Toán Hai Ngôi, Phiếm Hàm, Số Học, Tổ Hợp
Định lý 7.1. Với $m$ là bội chung nhỏ nhất của $m_1$ và $m_2$. Điều kiện để các đồng dư đồng thời sau \[x\equiv a_1\pmod{m_1},\] \[x\equiv a_2\pmod{m_2},\] có nghiệm là
\[\gcd\left( m_1,\,m_2\right)\mid a_1-a_2.\]
Nếu $(1)$ cố định, lúc đó nghiệm của $(1)$ là duy nhất mod $m$.
Chứng minh. Đặt $\gcd\left(m_1,\,m_2\right)=d$. Nếu hai đồng dư đồng thời đó có một nghiệm, lúc đó Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Đồng Dư, Số Học
I. Khái niệm về căn nguyên thủy.
Số nguyên dương $m$ gọi là có căn nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $a$ sao cho $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau và $$\text{ord}_{m}(a)=\varphi(m).$$
II. Điều kiện để có căn nguyên thủy.
Ta xét đến một ví dụ sau Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Cấp và căn theo modulo, Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, GCD, Phi hàm Euler, Số Học
Trước tiên ta có khẳng định sau
Định lý 13.1.Với $g(x)$ và $h(x)$ là hai đa thức với các hệ số nguyên, trong đó:
\[\begin{align*}
g(x)=&a_lx^l+\ldots+a_0,\,\quad\quad a_l\ne 0\\
h(x)=&b_mx^m+\ldots+b_0,\,\quad\; b_m\ne 0
\end{align*}\]
Giả sử rằng $g(x)h(x)=c_{l+m}x^{l+m}+\ldots+c_0$, khi đó \[\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right).\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right) =\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right). \]
Chứng minh. Ta có thể coi $\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right)=\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right)=1$. Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right)$ và Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đa Thức Bất Khả Quy, Đa Thức Cylcotomic, Đa Thức Hệ Số Nguyên, Đa thức Nguyên Bản, Định Lý Gauss, Số Học, Tiêu Chuẩn Eisenstein
Chúng ta quan tâm đến khái niệm sau.
Định nghĩa. Một đa thức $f(x)$ với biến $x$ được gọi là Đa thức giá trị nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.
Ví dụ. Các đa thức có hệ số nguyên là những đa thức giá trị nguyên. Tuy nhiên có những đa thức có hệ số không là số nguyên nhưng vẫn là đa thức giá trị nguyên, chẳng hạn đa thức sau đây \[\dbinom{x}{r} = \dfrac{{x(x – 1) \ldots (x – r + 1)}}{{r!}}.\]Ta kí hiệu $f(x+1)-f(x)=\Delta f(x)$ và có khẳng định sau. Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đa Thức Giá Trị Nguyên, Đa Thức Hệ Số Nguyên, Định Lý Fermat bé, Hệ Số Tổ Hợp, Sai Phân, Số Học
Với $n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Khi phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố, ta quan tâm đến bậc của $p$ trong phân tích đó. Và có định lý của Legendre như sau.
Định lý 11.1. Với $p$ là số nguyên tố. Lúc đó số mũ đúng của $p$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của $n!$ là \[v_p\left(n!\right)=\left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^1}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^2}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^3}}}} \right\rfloor + \ldots \]
Để ý rằng, chỉ có hữu hạn các số hạng khác không trong tổng trên. Read the rest of this entry »
Tags: Công Thức Legendre, Định Giá p-adic, Số Học, Tổ Hợp
Định lý 10.1. Nếu $n>1$ và $a^{n}-1$ là một số nguyên tố, thì lúc đó $a=2$ và $n$ là một số nguyên tố. Read the rest of this entry »
Tags: Số Fermat, Số Hoàn Hảo, Số Học, Số Mersenne, Số Nguyên Tố
Phản Hồi