Chúng ta quan tâm đến khái niệm sau.

Định nghĩa. Một đa thức $f(x)$ với biến $x$ được gọi là Đa thức giá trị nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.

Ví dụ. Các đa thức có hệ số nguyên là những đa thức giá trị nguyên. Tuy nhiên có những đa thức có hệ số không là số nguyên nhưng vẫn là đa thức giá trị nguyên, chẳng hạn đa thức sau đây \[\dbinom{x}{r} = \dfrac{{x(x – 1) \ldots (x – r + 1)}}{{r!}}.\]Ta kí hiệu $f(x+1)-f(x)=\Delta f(x)$ và có khẳng định sau.

Định lý 12.1. \[\Delta \dbinom{x}{r}=\dbinom{x}{r-1}\]

Chứng minh. Ta có biến đổi sau đây\[\begin{align*}
\Delta \dbinom{x}{r}=&\dfrac{{(x+1)x(x-1) \ldots (x-r+3) (x – r + 2)}}{{r!}}-\dfrac{{x(x – 1) \ldots (x – r + 1)}}{{r!}}\\
=&\dfrac{{x(x-1) \ldots (x – r + 2)}}{{r!}}((x + 1) – (x – r + 1))=\dbinom{x}{r-1}.
\end{align*}\]

$\square$

Định lý 12.2. Mọi đa thức giá trị nguyên với bậc $k$ có thể viết như sau \[a_k\dbinom{x}{k}+a_{k-1}\dbinom{x}{k-1}+\ldots+a_1\dbinom{x}{1}+a_0,\] trong đó $a_k,\,\ldots a_{k-1},\,\ldots,a_0$ là các số nguyên. Đồng thời, với những số nguyên $a_k,\,\ldots a_{k-1},\,\ldots,a_0$ bất kỳ, thì đa thức trên là một đa thức giá trị nguyên.

Chứng minh.Đa thức $f(x)$ bất kì với bậc $k$ có thể viết như sau \[f(x)=\alpha_k\dbinom{x}{k}+\alpha_{k-1}\dbinom{x}{k-1}+\ldots+\alpha_1\dbinom{x}{1}+\alpha_0.\] Giờ ta lại có \[\Delta f(x) = \alpha_k\dbinom{x}{k-1}+\alpha_{k-2}\dbinom{x}{k-2}+\ldots+\alpha_1.\]
Viết $\Delta^{2}f(x) $ thay cho $\Delta\left( \Delta f(x)\right)$ và $\Delta^rf(x)=\Delta\left( \Delta^{r-1} f(x)\right)$, ta thấy \[f\left( 0 \right) = {\alpha _0},\,\quad\quad{(\Delta f(x))_{x = 0}} = {\alpha _1}\,\,\quad\ldots,\quad{({\Delta ^r}f(x))_{x = 0}} = {\alpha _r},\,\ldots.
\] Nếu $f(x)$ là một đa thức giá trị nguyên, thì $\Delta f(x),\,\quad\Delta^2f(x),\,\ldots$ cũng nhận giá trị nguyên. Từ đó $f(0),\,(\Delta f(x))_{x=0},\,\ldots,\,(\Delta^r f(x)_{x=0}),\,\ldots$
đều là những số nguyên; vậy $\alpha_k,\,\ldots,\alpha_0$, là những số nguyên. Phần còn lại của định lý là hiển nhiên.

$\square$

Phương pháp này còn có thể dùng để chứng minh một định lý như sau:

Định lý 12.3.Với $f(x)$ là một đa thức giá trị nguyên. Với mọi số nguyên $x,\,a$ điều kiện cần và đủ để $f(x)$ là bội của $m$ đó là \[m\mid\gcd \left( a_k,\,\ldots ,a_0\right),\] trong đó $a_k,\,\ldots ,a_0$ là những số nguyên lấy ở trong Định lý 12.2

Định lý 12.4. (Fermat). Với $p$ là một số nguyên tố. Lúc đó, với mọi số nguyên $x$, $x^p-x$ là một bội số của $p$

Chứng minh. Nếu $p=2$, lúc đó từ $x^2-x=x(x-1)=2\dbinom{x}{2}$ ta có điều cần chứng minh. Xét trường hợp $p>2$, và đặt $x^p-x=f(x)$. Lúc đó $f(0)=0$ và\[\begin{align*} \Delta f(x)=& (x+1)^p-x^p-(x+1)+x\\
=&\dbinom{p}{1}x^{p-1}+\dbinom{p}{2}x^{p-2}+\ldots+\dbinom{p}{p-1}x.
\end{align*}\]
Ta chú ý rằng, theo bài tập 11.3 các hệ số $\dbinom{p}{k}$ sẽ là các số nguyên. Với $x=0$, ta thấy rằng $f(1)$ là bội của $p$; với $x=2$ ta có $f(1)$ là bội của $p$ và tương tự.. Vì thế $f(x)$ luôn là bội của $p$ với $x\ge 0$. Còn với $x<0$, ta cũng có $f(x)$ cũng là bội của $p$ do\[x^p-x=\left((-x)^p-(-x)\right).\]Và như vậy, định lý được chứng minh.

$\square$

Bài tập 1. Mở rộng Định lý 12.2 và Định lý 12.3 đối với trường hợp nhiều biến.

Bài tập 2. Chứng minh rằng $n(n+1)(2n+1)$ là một bội của $6$

Bài tập 3. Chứng minh rằng, nếu $m$ và $n$ chạy khắp tập của tất cả các số nguyên dương, thì \[m + \dfrac{1}{2}\left( m + n – 1\right) \left( m + n – 2\right)\] cũng chạy khắp toàn bộ tập của những số nguyên dương, và giá trị không lặp lại.

Bài tập 4. Chứng minh rằng nếu một đa thức bậc $k$ lấy giá trị nguyên cho $k+1$ số nguyên liên tiếp, lúc đó đa thức đó phải là một đa thức giá trị nguyên.

Bài tập 5. Nếu $f(-x)=-f(x)$ lúc đó ta gọi $f(x)$ là một đa thức lẻ. Chứng minh rằng một đa thức giá trị nguyên lẻ có thể viết dưới dạng \[{a_0} + {a_1}\dfrac{x}{1} \dbinom{x}{1} + {a_2}\dfrac{x}{2} \dbinom{x+1}{3} + \ldots + {a_m}\dfrac{x}{m} \dbinom{x+m-1}{2m-1},\] trong đó $a_1,\,\ldots,\,a_m$ là những số nguyên.