Đây là bài toán 29 trong mã đề 123 mà bộ Dục ra cho học sinh, trong kỳ thi THPT năm 2018. Bài toán này thoạt nhìn chả có gì ghê gớm, bản chất vốn chỉ là một bài tính tích phân đơn giản với nội dung như sau.

Bài toán.  Cho $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỷ thỏa mãn\[\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11.} \]Mệnh đề nào dưới đây đúng?\[A.\;a+b=-3c,\qquad B.\;a-b=-c,\qquad C.\;a+b=c,\qquad D.\;a+b=3c.\]

Để giải bài toán này, mẹo mực bấm máy thì mình không quan tâm. Nếu phải tính cái tích phân kia, thì mình làm như thế này.

Lời giải 1. Đặt $\sqrt{x+9}=t$, ta sẽ có $x+9=t^2$ nên $dx=d(x+9)=2tdt$ và\[I = \int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = \int\limits_5^8 {\frac{{2tdt}}{{\left( {{t^2} – 9} \right)t}} = } } \frac{1}{3}\int\limits_5^8 {\left( {\frac{1}{{t – 3}} – \frac{1}{{t + 3}}} \right)dt = } \frac{1}{3}\ln \left( {\frac{{t – 3}}{{t + 3}}} \right)\left| \begin{array}{l}
8\\
5
\end{array} \right..\]Thay số vào tính toán ta sẽ được\[\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = } \frac{2}{3}\ln \,{\rm{2 + }}\frac{1}{3}\ln 5 – \frac{1}{3}\ln \,11.\]Vấn đề đặt ra đến đây là như này. Nếu một học sinh thuộc loại hời hợt-kiến thức non, ngay lập tức nó sẽ dự đoán\[a = \frac{2}{3},\qquad b = \frac{1}{3},\qquad c = – \frac{1}{3}.\]Và vì thế sẽ chọn đáp án B. Nhưng với một học sinh được học hành tử tế, và coi đề bài trên là một câu tự luận thì sẽ nảy đến suy nghĩ: “Liệu có tồn tại bộ ba số hữu tỷ $(a,\,b,\,c)$ khác với bộ $\left(\dfrac{2}{3},\,\dfrac{2}{3},\,-\dfrac{1}{3}\right)$ sao cho\[\frac{2}{3}\ln \,{\rm{2 + }}\frac{1}{3}\,\ln 5 – \frac{1}{3}\ln 11 = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11 ?”.\]Do đó, lời giải cho bài toán trên không đơn giản chỉ là đoạn tính tích phân kia. Bây giờ là lời giải chặt chẽ cho bài toán.

Lời giải 2. Đặt $\sqrt{x+9}=t$, ta sẽ có $x+9=t^2$ nên $dx=d(x+9)=2tdt$ và\[I = \int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = \int\limits_5^8 {\frac{{2tdt}}{{\left( {{t^2} – 9} \right)t}} = } } \frac{1}{3}\int\limits_5^8 {\left( {\frac{1}{{t – 3}} – \frac{1}{{t + 3}}} \right)dt = } \frac{1}{3}\ln \left( {\frac{{t – 3}}{{t + 3}}} \right)\left| \begin{array}{l}
8\\
5
\end{array} \right..\]Từ đây ta có được\[\frac{2}{3}\ln \,{\rm{2 + }}\frac{1}{3}\,\ln 5 – \frac{1}{3}\ln 11 = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11.\]Đặt $a-\dfrac{2}{3}=k,\,b-\dfrac{1}{3}=k,\,c+\dfrac{1}{3}=m$, ta có $k,\,l,\,m\in\mathbb Q$ và $$k\ln 2+l\ln 5+m\ln 11=0,$$ nên lấy e mũ hai vế được\[{2^k}{5^l}{11^m} = {\text{e}^{k\ln 2 + l\ln 5 + m\ln 11}} = {e^0} = 1,\qquad (1).\]Thực hiện việc quy đồng mẫu số với các số hữu tỷ $k,\,l,\,m$ ta viết\[k = \frac{\alpha }{M},\quad l = \frac{\beta }{M},\quad m = \frac{\gamma }{M}.\]Trong đó $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma\in\mathbb Z$ và $M\in\mathbb Z^+$, từ đó $(1)$ trở thành\[{2^\alpha }{5^\beta }{11^\gamma } = 1^M=1.\]Nhưng theo định lý cơ bản của Số Học, thì mọi số hữu tỷ đều viết được và viết được duy nhất dưới dạng\[r = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}} \ldots p_t^{{k_t}}.\]Trong đó $p_1,\,p_2,\,\ldots ,\,p_t$ là các số nguyên tố phân biệt và $k_1,\,k_2,\ldots,\,k_t$ là các số nguyên. Thế nên từ $(1)$ và biểu diễn $1=2^05^011^0$ ta có\[\alpha = \beta = \gamma = 0.\] Tức là chỉ có duy nhất một bộ ba số hữu tỷ $(a,\,b,\,c)$ thỏa yêu cầu, đó là\[\left( {a,\,b,\,c} \right) = \left( {\frac{2}{3},\,\frac{1}{3},\, – \frac{1}{3}} \right).\]Cho nên đáp án cần chọn là B.

Bình luận. Rõ ràng một bài thi THPT mà phải giải đến mức độ trên để tin vào đáp án, thực quá sức học sinh. Nếu bộ Dục không thay đổi kiểu thi, cẩn thận không có ngày sẽ xuất hiện bài tích phân kiểu

“Cho các số hữu tỷ $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa\[\int\limits_2^3 {\frac{{{x^2} + 2\sqrt x – 1}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)\sqrt x }}\,} dx = a\sqrt 2 + b\sqrt 3 + c\ln 2 + d\ln 3.\]Chọn đáp án cho kết quả của $a+b+c+d$”.