Với các số nguyên dương $m,\,n$ cho trước và $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$, xét phương trình đồng dư\begin{align}x^n\equiv a\pmod m,\qquad (1).\end{align}Ở các phần phía trước bao gồm http://songha.maths.vn/khai-niem-thang-du-bac-cao-va-can-theo-modulo/, http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ và http://songha.maths.vn/so-cac-thang-du-bac-cao/ thì về cơ bản thì chúng ta đã giải quyết được hai vấn đề, đó là Read the rest of this entry »
You are currently browsing articles tagged Thặng Dư Bậc Hai.
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Ở bài viết về điều kiện để là thặng dư bậc cao ở http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ , ta đã chỉ ra rằng nếu $m=m_1m_1$ với $m_1,\,m_2\in\mathbb Z^+$ trong đó $\gcd\left(m_1,\,m_2\right)=1$ và $n$ là một số nguyên dương. Khi đó số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau với $m$ và là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$ nếu và chỉ nếu $a$ vừa là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_1$ và đồng thời là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_2$.
Bây giờ với $a_1,\,a_2$ lần lượt là các thặng dư bậc $n$ theo các mod $m_1,\,m_2$ tương ứng. Lúc đó, lại theo định lý thặng dư Trung Hoa sẽ tồn tại duy nhất $a\in\mathcal U_m$ sao cho Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Cho các số nguyên dương $m,\,n$ và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$, giả sử phân tích ra thừa số nguyên tố của $m$ là\[m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_t^{k_t}.\]Trong đó, $k_i\in\mathbb{Z}^+,\,p_i\in\mathbb P,\;\forall\,i=\overline{1,\,t}$ và $p_1<p_2<\ldots<p_t$.
Nếu $a$ là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$, thì từ $a\equiv r^n\pmod m$ với $r$ là một căn bậc $n$ của $a$ theo mod $m$, ta có Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Cho trước các số nguyên dương $m,\,n$, và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$. Khi đó, với việc biết cấp của $a$ theo mod $m$ là $\text{ord}_m(a)=h$ chúng ta đã có được thuật toán tìm số dư $r$ của $a^n$ khi chia $m$ đó là.
- Tìm số dư $r_0$ của $n$ khi đem chia cho $h$.
- Tìm số dư $r$ khi đem $a^{r_0}$ chia cho $m$.
Công việc này dù rắc rối hơn đôi chút, nhưng cũng giống như vấn đề ở đại số sơ cấp đó là tính giá trị của lũy thừa $a^n$ khi biết trước $a$ và $n$. Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Dưới đây là lời giải cho một bài toán rất khó về tính chất số học của đa thức.
Bài toán. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.
Lời giải. Giả sử $P(x)$ và $m$ là đa thức và số nguyên dương thỏa mãn, ta có 2 nhận xét sau:
Nhận xét 1. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^nP(n)$ thì $p\mid P'(n).$
Chứng minh. Ta có $v_p\left(m+2^nP(n)\right)\ge 2$, theo Fermat bé thì\[m + {2^n}P\left( n \right) \equiv m + {2^{n + p\left( {p – 1} \right)}}P\left( {n + p\left( {p – 1} \right)} \right)\pmod{p}.\]Vì thế ta lại có $v_p\left(m+2^{n+p(p-1)}P\left(n+p(p-1)\right)\right)\ge 2$, theo bổ đề tiếp tuyến và định lý Euler ta có Read the rest of this entry »
Tags: Bổ Đề Nâng Bậc, Bổ Đề Tiếp Tuyến, Đa Thức, Đa Thức Hệ Số Nguyên, Định Giá p-dic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Thặng Dư Bậc Hai
Phản Hồi