Định Lý Cơ Bản Của Số Học

You are currently browsing articles tagged Định Lý Cơ Bản Của Số Học.

Về bài toán ở đề thi THPT 2018

30/06/2018 in Giải Tích, Số Học | No comments

Đây là bài toán 29 trong mã đề 123 mà bộ Dục ra cho học sinh, trong kỳ thi THPT năm 2018. Bài toán này thoạt nhìn chả có gì ghê gớm, bản chất vốn chỉ là một bài tính tích phân đơn giản với nội dung như sau.

Bài toán.  Cho $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỷ thỏa mãn\[\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11.} \]Mệnh đề nào dưới đây đúng?\[A.\;a+b=-3c,\qquad B.\;a-b=-c,\qquad C.\;a+b=c,\qquad D.\;a+b=3c.\]

Để giải bài toán này, mẹo mực bấm máy thì mình không quan tâm. Nếu phải tính cái tích phân kia, thì mình làm như thế này. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

20/05/2018 in Số Học | 1 comment

Chọn $x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n$ là $n$ số nguyên bất kì. Ta kí hiệu $\min\left(x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n\right)$ và $\max\left(x_1;\,x_2 \ldots ;\, x_n\right)$ lần lượt là số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số $x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n$ đó. Định lý nêu ra sau đây là hiển nhiên.

Định lý 6.1. Với $a,\,b$ là hai số nguyên dương và $p_1,\,p_2,\,\ldots,p_s$ là những ước nguyên tố thì, lúc đó ta có thể viết
\[\begin{align*}
a &= p_1^{{a_1}}p_2^{{a_2}} \ldots p_s^{{a_s}},\quad {a_v} \ge 0,\\ \\
b &= p_1^{{b_1}}p_2^{{b_2}} \ldots p_s^{{b_s}},\quad {b_v} \ge 0,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {p_1} < {p_2} < \ldots {p_s}.
\end{align*}\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Định lý cơ bản của số học

20/05/2018 in Số Học | No comments

Trước tiên, ta quan tâm đến khẳng định sau đây.

Định lý 5.1. Với p là một số nguyên tố, và $p \mid ab$. Lúc đó hoặc $p \mid a$ hoặc $p \mid b$.

Chứng minh. Nếu $p \nmid a$, lúc đó $\gcd(a,\,p)=1$ . Từ định lý 4.4 ở bài viết Modulus của các số nguyên, sẽ tồn tai hai số nguyên $x,\,y$ thoả mãn \[xa+yb=1,\]từ đó ta có được\[b=xab+ybp.\]Lại  có $p\mid ab$ và $x,\,b\in\mathbb Z$ nên $p\mid b$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Số nguyên tố và hợp số

20/05/2018 in Số Học | No comments

Chúng ta chia số nguyên dương làm ba loại:

  1.  Số nguyên dương duy nhất có đúng một ước nguyên dương, đó là số $1$.
  2. Số nguyên dương có đúng hai ước nguyên dương là $1$ và chính nó, đó là những số nguyên tố. Về bản chất, đó là các số không có ước thực sự.
  3. Các số có nhiều hơn hai ước số nguyên dương, và nghĩa là nó có ước thực sự. Những số đó gọi là hợp số. Ở bài viết này, chúng ta thường kí hiệu số nguyên tố là $p$.

Để ý rằng, một số nguyên được gọi là chẵn hoặc lẻ tuỳ thuộc vào việc chúng chia hết cho $2$ hoặc không. Rõ ràng, số nguyên dương chẵn lớn hơn $2$ không thể là số nguyên tố. Điều đó cũng đồng nghĩa với việc có duy nhất một số nguyên tố chẵn, đó là số $2$.

Sau đây là một khẳng định rất quan trọng. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,