Chúng ta chia số nguyên dương làm ba loại:

1.  Số nguyên dương duy nhất có đúng một ước nguyên dương, đó là số $1$.
2. Số nguyên dương có đúng hai ước nguyên dương là $1$ và chính nó, đó là những số nguyên tố. Về bản chất, đó là các số không có ước thực sự.
3. Các số có nhiều hơn hai ước số nguyên dương, và nghĩa là nó có ước thực sự. Những số đó gọi là hợp số. Ở bài viết này, chúng ta thường kí hiệu số nguyên tố là $p$.

Để ý rằng, một số nguyên được gọi là chẵn hoặc lẻ tuỳ thuộc vào việc chúng chia hết cho $2$ hoặc không. Rõ ràng, số nguyên dương chẵn lớn hơn $2$ không thể là số nguyên tố. Điều đó cũng đồng nghĩa với việc có duy nhất một số nguyên tố chẵn, đó là số $2$.

Sau đây là một khẳng định rất quan trọng.

Định lý 2.1 Mọi số nguyên dương lớn hơn $1$ đều là tích của các số nguyên tố.

Chứng minh. Với $n>1$. Nếu $n$ là một số nguyên tố thì ta có luôn điều cần chứng minh. Giờ giả sử $n$ không là số nguyên tố lúc đó gọi $q_1$ là ước bé nhất của $n$. Từ Định lý 1.3 ta có $q_1$ phải là một số nguyên tố. Viết $n = n_1q_1$ với $1<n_1<n$. Nếu $n_1$ là số nguyên tố thì ta có được điều cần chứng minh, nếu $n_1$ không phải là số nguyên tố thì tương tự ta lại đặt $q_2$ là ước bé nhất của $n_1$, ta có \[n=q_1q_2n_2,\quad 1<n_2<n_1<n.\] Cứ tiếp tục lập luận như thế ta thấy có dãy các số nguyên dương giảm dần\[n>n_1>n_2>\ldots>n_t>\ldots>1.\]Quá trình đó, sẽ phải dừng sau không quá $n-1$ bước (bởi mỗi số nguyên dương giảm đi ít nhất một đơn vị), từ đó ta có\[n=q_1q_2\ldots q_s.1=q_1q_2\ldots q_s.\]Ở đấy $q_1,\,q_2,\,\ldots ,\,q_s$ là các số nguyên tố. Và đây là điều cần chứng minh.

$\square$

Ví dụ. $10725=3^15^211^113^1,\quad 2016=2^53^27^1.$

Chúng ta có thể sắp xếp các số nguyên tố ở Định lý 2.1 để có biểu diễn sau (với $p_1,\,p_2,\ldots ,\,p_m$ là các số nguyên tố)\[ n = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}} \ldots p_m^{{k_m}} = \prod\limits_{i = 1}^m {p_i^{{k_i}}}; \quad {k_1},{\mkern 1mu} {k_2},{\mkern 1mu} \ldots ,{k_m} \in {\mathbb Z^ + },\]\[{p_1} < {p_2} < \ldots {p_m}.\]

Chúng ta gọi đây là phân tích tiêu chuẩn của $n$, sau này ta sẽ chứng minh phân tích đó là duy nhất. Và Định lý 2.1 còn được gọi là “Định lý cơ bản của Số Học”.