Định lý 7.1. Cho $N$ đối tượng, và giả sử rằng có $N_{\alpha}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\alpha$, $N_{\beta}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\beta,\,\ldots,$ $N_{\alpha\beta}$ trong chúng mang cả hai tính chất $\alpha\beta,\,\ldots,\,N_{\alpha\beta\gamma}$ trong chúng mang cả ba tính chất $\alpha,\,\beta $ và $\gamma,\,\ldots$. Lúc đó số các đối tượng không có bất kì tính chất nào được nêu trên được tính bởi công thức
\[\begin{align*}
N &- {N_\alpha } – {N_\beta } – \ldots \\
&+ {N_{\alpha \beta }} +N_{\alpha \gamma } \ldots \\
&- {N_{\alpha \beta \gamma }} – \ldots \\
&+ \ldots – \ldots
\end{align*}; \qquad (A).\]
Chứng minh. Với $P$ là một đối tượng mang $k$ những tính chất $\alpha,\,\beta,\,\ldots.$ Lúc đó $P$ chắc chắn là $P$ đối tượng trong $N$ đói tượng, $k$ lần những tính chất được đánh dấu trong $(A)$ của $N_\alpha,\,N_{\beta},\ldots$ đối tượng, \[\dbinom{k}{2} = \dfrac{1}{2}k(k – 1)\] lần trong những đối tượng $N_{\alpha\beta},\,\ldots$ trong đánh dấu $(A)$, \[\dbinom{k}{3}=\dfrac{1}{6}k(k-1)(k-2)\] lần trong những đối tượng $N_{\alpha\beta\gamma},\,\ldots$ trong đánh dấu $(A)$. Nếu $k\ge 1$, lúc đó số lần $P$ xảy ra trong đánh dấu (A) là \[1-\dbinom{k}{1}+\dbinom{k}{2}-\dbinom{k}{3}+\ldots=(1-1)^k=0.\] Nếu $k=0$, lúc đó $P$ là một trong những đối tượng không mang bất cứ tính chất nào và nó sẽ xuất hiện một lần trong $(A)$. Định lý được chứng minh.

$\square$

Giờ chúng ta ứng dụng định lý này như sau: Với “Tính chất $\alpha$” ta hiểu rằng là “không vượt quá $\alpha”,\,\ldots$

Định lý 7.2. Chọn $a,\,b,\,c,\,\ldots,k,\,l$ là những số không âm. Lúc đó ta có: \[\begin{align*}
\max (a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c,{\mkern 1mu} \ldots ,k,{\mkern 1mu} l) = &\, a + b + \ldots + k + l\\
&- \min (a,{\mkern 1mu} b) – \min (b,{\mkern 1mu} c) – \ldots – \min (k,{\mkern 1mu} l)\\
&+ \min (a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c) + \ldots – \ldots + \ldots \\
&\pm \min (a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c,{\mkern 1mu} \ldots ,k,{\mkern 1mu} l).
\end{align*}\]

Chứng minh. Đầu tiên ta lấy $N$ số nguyên dương sao cho $$N>\max(a,\,b,\,c,\,\ldots,k,\,l).$$ Số những số nguyên dương với những tính chất $\alpha,\,\beta$ là $$N-\max(a,\,b,\,c,\,\ldots,k,\,l).$$ Ta có được điều cần chứng minh theo Định lý 7.1.

$\square$

Dùng định lý 7.1 có thể dễ dàng chứng minh hai định lý sau đây:

Định lý 7.3.  Với các số nguyên dương ${{a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} \ldots ,{\mkern 1mu} {a_n}}$, ta có\[\begin{align*}
\text{lcm}\left( {{a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} \ldots ,{\mkern 1mu} {a_n}} \right) =& {a_1}{a_2} \ldots {a_n}\gcd{\left( {{a_1},\,{a_2}} \right)^{ – 1}} \\&\ldots \gcd{\left( {{a_{n – 1}},\,{a_n}} \right)^{ – 1}}\left( {{a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} {a_3}} \right)\\
&\ldots \gcd\left( {{a_1},\,{a_2} \ldots ,{\mkern 1mu} {a_n}} \right)^{(-1)^{n+1}}.
\end{align*}\]

Định lý 7.4.  Với các số nguyên dương ${{a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} \ldots ,{\mkern 1mu} {a_n}}$, ta có\[\begin{align*}
\gcd\left( {{a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} \ldots ,{\mkern 1mu} {a_n}} \right) =& {a_1}{a_2} \ldots {a_n}\text{lcm}{\left( {{a_1},\,{a_2}} \right)^{ – 1}} \\ &\ldots \text{lcm}{\left( {{a_{n – 1}},\,{a_n}} \right)^{ – 1}}\left( {{a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} {a_3}} \right)\\
&\ldots \text{lcm}\left( {{a_1},\,{a_2} \ldots ,{\mkern 1mu} {a_n}} \right)^{(-1)^{n+1}}.
\end{align*}\]

Chú ý. Bài tập 1 và 2 trong bài Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, và Định lý 7.3 và 7.4 được thiế lập là “nguyên lý đối ngẫu” ở đây $\gcd$ và $\text{lcm}$ có thể đổi chỗ cho nhau.

Bài tập. Với $a,\,b,\,\ldots,\,k,\,l$ là những số nguyên dương. Xác định số những số nguyên dương trong $1,\,2,\,\ldots,\,n$ nguyên tố cùng nhau với $a,\,b,\,\ldots,\,k,\,l.$