Một modulus được hiểu là một tập hợp các số nguyên với tính đóng với những phép toán cộng và trừ. Nói cách khác, nếu $m,\,n$ là các số nguyên ở trong một modulus thì $m+n$ và $m-n$ cũng thuộc modulus đó. Một modulus chỉ bao gồm duy nhất số $0$ được gọi là modulus $0$. Một tập hợp các số nguyên có dạng một modulus cũng giống như tập của các số nguyên là bội của một số nguyên $k$ cố định.

Định lý 4.1.  Chúng ta có một số tính chất cơ bản như sau về modulus

1.  Số $0$ thuộc về tất cả các modulus
2.  Với $a,\,b$ cùng thuộc về một modulus và $m,\,n $ là các số nguyên, lúc đó $am+bn$ cũng thuộc về modulus.

Chứng minh. Lấy số nguyên $a$ bất kì khi đó $0=a-a$ thuộc về modulus.

Nếu $a$ ở trong một modulus thì lúc đó $2a=a+a,\,3a=2a+a,\,\ldots,\,ma$ đều thuộc về modulus đó. Tương tự ta có $nb$ cũng thuộc về modulus đó và vì vậy kết quả cần tìm sẽ ở trong định lý sau.

$\square$

Định lý 4.2. Với $a$ và $b$ là hai số nguyên bất kì. Lúc đó tập của các số có dạng $am+bn$ là dạng của một modulus

Chứng minh. Định lý này hiển nhiên.

$\square$

Định lý 4.3. Các modulus khác không là tập các bội của một số nguyên dương $a$ cố định.

Chứng minh. Chọn $d$ là số nguyên dương bé nhất trong modulus. Chúng ta chọn tất cả các số trong modulus là bội của $d$. Để giả sử điều ngược lại tức để $n$ là mộ số trong modulus đó thoả $d\nmid n$. Lúc đó từ Định lý 1.1, sẽ tồn tại hai số nguyên $q,r$ thoả mãn \[n=qd+r,\quad 1 \le r < d\] .
Từ định nghĩa của một modulus, ta thấy rằng $r=n-qd$ cũng thuộc về modulus đó, vì vậy $r$ phạm vai trò của $d$. Từ đó mọi phần tử trong modulus đó đều là ước của của $d$. Nó cũng chỉ ra rõ ràng rằng mọi ước của $d$ đều ở trong modulus. Định lý được chứng minh hoàn toàn.

$\square$

Định nghĩa. Với $a,b$ là hai số nguyên bất kì và ta coi một modulus là tập các số ở dạng $am+bn$. Nếu đây không phải là modulus không, lúc đó số nguyên dương $d$ trong Định lý 4.3 được gọi là ước chung lớn nhất của a và b và nó được kí hiệu là  $\gcd(a,b)$.

Ta có một số tính chất cơ bản sau về $\gcd(a,\,b)$:

Định lý 4.4. Ước chung lớn nhất có những tính chất sau đây:

1.  Tồn tại các số nguyên $x,y$ thoả mãn $ax+by=gcd(a,b)$
2.  Với mọi số nguyên $x,y$ ta luôn có $gcd(a,b)\mid ax+by$;
3. Nếu $e\mid a$, $e\mid b$, lúc đó $e\mid gcd(a,b)$.

Chứng minh. (i) và (ii) là hệ quả của Định lý 4.3 còn (iii) chứng minh theo (i)

$\square$

Định nghĩa. Nếu $\gcd(a,\,b)=1$, lúc đó ta nói $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau.

Chú ý. Chúng ta sử dụng một phương pháp nổi tiếng ở trong chứng minh của Định lý 4.3, đó là thuật toán Euclidean .

Ví dụ. Ta lấy $a=323, b=221$. Từ thuật toán Euclidean ta có \[323=221.1+102\]
Chú ý rằng $102$ thuộc về modulus của những số có dạng $ax+by$, tiếp theo \[221=102.2+17\] vì thế $17$ cũng thuộc về modulus. Lúc đó \[102=17.6.\] Vậy thì $17$ là số nguyên dương nhỏ nhất trong modulus, từ đó $gcd(a,\,b)=17$

Phương pháp này dùng để xác định hai số nguyên $x,y$ trong Định lý 4.4

Trong thực tế ta có: \[17=221-2.102\] \[=221-2(323-221)\] \[=3.221-2.323\] vì thế $x=(-2); y=3$. Phương pháp này là phương pháp cơ bản của số học.