Chúng ta thấy rõ ràng rằng, nếu cơ số $a$ nguyên (để tránh trường hợp tầm thường thì $|a|\ne 1$) và số mũ $n$ rất lớn thì việc tính trực tiếp giá trị của $a^n$ sau đó mới lấy giá trị đó thực hiện phép chia cho $m$ để tìm dư, là một việc thường không thực tế.

Một ví dụ đơn giản, là bài toán tìm 5 chữ số tận cùng của $5^{2016}$. Về bản chất, thì công việc đó chính là đi tìm số dư của $5^{2016}$ trong phép chia cho $10^5$. Vì $10^5=2^5.5^5$ và dễ nhận ra rằng $5^5\mid 5^{2016}$ nên vấn đề sẽ quy về tìm số dư của $5^{2016}$ khi đem chia nó cho $2^5$. Công việc sau đó, chỉ là kết hợp 2 đồng dư để cho ta kết quả số dư khi chia $5^{2016}$ cho $10^5$.

Rõ ràng, việc tính ra giá trị của $5^{2016}$ sau đó đem chia cho $2^5$ rồi xem dư bao nhiêu là một chuyện không tưởng (nhất là nếu không có sự hỗ trợ của máy móc). May thay, nhờ các tính chất đồng dư ta có thể xử lý vấn đề nhẹ nhàng như sau đây.

Ta có $5^1=5;\,5^2=25\;5^3=125;\,5^4=625$ nên\[{5^8} = 1 + \left( {{5^8} – 1} \right) = 1 + \left( {{5^4} – 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right) = 1 + 624 \times 626 \equiv 1\pmod{2^5}\]
Bởi vậy\[{5^{2016}} = {\left( {{5^8}} \right)^{252}} \equiv {1^{252}} \equiv 1\pmod{2^5}\]Tức là tồn tại $u;\,v\in\mathbb Z^+$ sao cho\[5^{2016}=5^5u=32v+1\]Cũng từ $5^8\equiv 1\pmod{32}$ mà có \[u\equiv 5^8u\equiv 125(32u+1)\equiv 125\equiv 29\pmod{32}\] Tức là sẽ có biểu diễn $u=32t+29$ với $t\in\mathbb N$, và do đó 5 chữ số tận cùng của $5^{2016}$ là $90625$ bởi vì\[{5^{2016}} = {5^5}\left( {32t + 29} \right) = {10^5}t + 90625 \equiv 90625\pmod{10^5}\]
Những bài toán tương tự như vậy khiến chúng ta quan tâm đến vấn đề: “Cho trước số nguyên dương $m$, và số nguyên $a$ khi đó cần khảo sát số dư của $a^n$ khi chia cho $m$ trong đó $n$ là một số nguyên dương.”.

Trở lại vấn đề ở ví dụ trên, ta thấy yêu cầu được giải quyết khá đơn giản nhờ việc ta phát hiện ra tính chất\[5^8\equiv 1\pmod{32}\]Vì thế, nếu ta cần tìm số dư của $5^n$ cho $32$, ta chỉ việc lấy $n$ đem chia cho $8$. Giả sử $n=8q+r$ với $q;\,n\in\mathbb N$ và $r<8$ thế thì\[{5^n} = {5^{8q + r}} = {\left( {{5^8}} \right)^q}{5^r} \equiv {1^q}{.5^r} \equiv {5^r}\pmod{32}\]Mặt khác, do $r\in\{0;\,1;\,\ldots;\,7\}$ nên vấn đề sẽ quy về những tính toán nhẹ nhàng.

Câu hỏi xảy đến rất tự nhiên là: “Giống như số mũ $8$ của $5$ trong mod $32$. Với số nguyên dương $m$ (để tránh trường hợp tầm thường thì $m\neq 1$) và số nguyên $a$ cho trước, liệu có tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $a^k\equiv 1\pmod m$ hay không?”. Rõ ràng, nếu $\gcd(a;\,m)=d>1$ thì $a^k$ và $m$ đều là bội của $d$ cho nên không thể xảy ra chuyện $a^k\equiv 1\pmod m$. Vậy nên sẽ chỉ đặt ra mối hoài nghi trên, với trường hợp $\gcd(a;\,m)=1$.

Giờ với $m\in\mathbb Z^+,\;a\in\mathbb Z:\;\gcd(a;\,m)=1$, xét dãy các lũy thừa của $a$ là $1;\,a;\,a^2;\,\ldots ;\,a^n;\,\ldots$ với $n\in\mathbb Z^+$. Do chỉ có đúng $m$ số dư trong phép chia cho $m$ là $0;\,1;\,\ldots ;\,m-1$ nên theo nguyên tắc Dirichlet sẽ tồn tại hai lũy thừa khác nhau của $a$ có cùng số dưng trong phép chia cho $m$. Tức là, sẽ tồn tại $k;\,l\in\mathbb N$ với $k>l$ sao cho\[a^k\equiv a^l\pmod m\]Do $k>l$ nên $\exists t\in\mathbb Z^+$ sao cho $k=l+t$ và từ đồng dư trên ta có $a^{l+t}-a^l\;\vdots\;m$ tức là\[a^l\left(a^t-1\right)\;\vdots\;m\]Mặt khác, vì $\gcd(a;\,m)=1$ nên $\gcd\left(a^l;\,m\right)=1$ bởi vậy nên $\left(a^t-1\right)\;\vdots\;m$ tức là\[a^t\equiv 1\pmod m\]
Xét tập $\mathcal O=\left\{n\in\mathbb Z^+:\;a^n\equiv 1\pmod m\right\}$, từ lý lẽ ở trên ta thấy là $\mathcal O\ne \emptyset$ do đó trong $\mathcal O$ luôn tồn tại phần tử nhỏ nhất là $d$. Nói khác đi, $d$ là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương $n$ thỏa mãn\[a^n\equiv 1\pmod m\]
Từ những khẳng định trên, ta có định nghĩa tốt sau đây.

Định nghĩa [Về cấp theo modulo]. Cấp của số nguyên $a$ trong$\mod m$ (với $m\in\mathbb Z^+$ và $\gcd(a;\,m)=1$) là số nguyên dương $d$ nhỏ nhất thỏa mãn\[a^d\equiv 1\pmod m\]
Ký hiệu: $d=\text{ord}_m(a)$.

Ví dụ. $\text{ord}_7(2)=3$ bởi vì $2^1$ và $2^2$ đều không chia $7$ dư $1$, và $$2^3=8\equiv 1\pmod 7$$Tương tự, ta cũng có thể thấy $\text{ord}_{13}(3)=3$, $\text{ord}_{10}(7)=4$ và $\text{ord}_{19}(2)=18$.

Qua các trình bày ở trên, ta thấy rằng khái niệm cấp theo modulo rất quan trọng với việc khảo sát số dư của các lũy thừa. Ở các bài viết tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu các tính chất cơ bản của cấp theo modulo cũng như tìm hiểu cách tìm cấp của một số nguyên $a$ theo modulo $m$ (với $\gcd(a;\,m)=1$).