Bài toán. Cho các số thực dương $a,\,b,\,c$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện ràng buộc\[a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)\le 18.\]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\[P = \frac{1}{{1 + a + b}} + \frac{1}{{1 + b + c}} + \frac{1}{{1 + c + a}}.\]
Lời giải. Trước tiên, ta cần để ý rằng với $\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,x,\,y,\,z>0$ bất kỳ thế thì sẽ có\[\left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)\left( {x + y + z} \right) = {\left( {\sqrt {\alpha x} + \sqrt {\beta y} + \sqrt {\gamma z} } \right)^2} + D.\]Với $D={\left( {\sqrt {\alpha y} – \sqrt {\beta x} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {\alpha z} – \sqrt {\gamma x} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {\beta z} – \sqrt {\gamma y} } \right)^2}$, và do đó ta có được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz rất hữu dụng sau đây\[\left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)\left( {x + y + z} \right) \ge {\left( {\sqrt {\alpha x} + \sqrt {\beta y} + \sqrt {\gamma z} } \right)^2}.\]Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kia, ta được\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {a + b + c} \right)^2}.\]Đặt $a+b+c=s$, từ giả thiết ta có $s>0$ và\[\frac{1}{3}{s^2} + s \le 18.\]Cho nên có ngay được $s\le 6$, lại theo Cauchy-Schwarz có\[\frac{1}{{1 + a + b}} + \frac{1}{{1 + b + c}} + \frac{1}{{1 + c + a}} \ge \frac{9}{{1 + a + b + 1 + b + c + 1 + c + a}}.\]Như vậy là $P\ge\dfrac{9}{3+2s}$, bây giờ kết hợp với $s\le 6$ mà có $P\ge \frac{3}{5}$. Lại thấy khi $a=b=c=2$ thì xảy đến các dấu bằng, cho nên giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\frac{3}{5}$.
Tags: Bất Đẳng Thức
No comments
Comments feed for this article
Trackback link: http://songha.maths.vn/gia-tri-nho-nhat-cua-sumfrac11ab/trackback/