Đồng dư $\mathbf{2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}}$

Vào năm 1828 Abel đưa ra một câu hỏi là liệu có số nguyên $a$ và số nguyên tố $p$ nào thoả $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p^2?$. Theo Jacobi : $p\le 37$ lúc đó đồng dư thức trên có những nghiệm $(p,\,a)$ là \[(11,\,3),\,\quad (11,\,9),\,\quad (29,\,14),\,\quad (37,\,18).\] Qua quá trình nghiên cứu định lý cuối cùng của Fermat đã thúc đẩy vấn đề này. Định lý như sau: Với $p$ là mộ số nguyên tố lẻ. Nếu tồn tại những số nguyên $x,\,y,\,z$ thoả $x^p+y^p+z^p=0,\,p\nmid xyz$, lúc đó \[2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2},(1)\]và \[3^{p-1}\equiv 1\pmod {p^2},(2)\] gần đây chúng ta biế được rằng $n^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$ với $n=2,\,3,\quad,47.$ Chúng ta không biế răng liệu có tồn tại hay không số nguyên tố $p$ thoả mãn cả $(1),\,(2)$.

Định nghĩa. Nếu $a^{p-1}\equiv 1\pmod {p^2}$, lúc đó ta gọi $a$ là một nghiệm Fermat.

Rõ ràng rằng tích của hai nghiệm Fermat là một nghiệm Fermat, tích của một số là nghiệm Fermat và một số không phải nghiệm Fermat là một số là nghiệm Fermat. Trong phân tích ra thừa số nguyên tố của một nghiệm Fermat sẽ phải có mộ ước nguyên tố không phải là nghiệm Fermat.

Chứng minh. Với $a,\,b$ là hai nghiệm Fermat đối với mod $p$. Lúc đó sẽ không tồn tại $q$ thoả \[qp=a\pm b,\,p\nmid q.\]
Từ định nghĩa ta có $a^p\equiv a\pmod{p^2},\,b^p\equiv b\pmod{p^2}$, \[a^p\pm b^p\equiv a\pm b\pmod{p^2},\,\quad(3)\] nếu $qp=a\pm b,\,p\nmid q$, lúc đó $a^p=(\pm b+qp)^p\equiv\pm b^p\pmod{p^2}$ cho $a^p\pm b^p\equiv 0\pmod{p^2}$. Loại bỏ điều này ra khỏi $(3)$ cho $a\pm b=qp\equiv 0\pmod{p^2}$, Vô lý.

$\square$

Định lý. $3$ là nghiệm Fermat đối với mod $11$.

Chứng minh. Ta có $3^5=243\equiv 1\pmod{11^2}$ vì thế $3^10\equiv 1\pmod{11^2}$.

$\square$

Định lý. $2$ là nghiệm Fermat đối với mod $1093$.

Chứng minh. Với $p=1093$. Lúc đó $3^7=2187=2p+1$, vì thế \[3^{14}\equiv 4p+1\pmod{p^2};\quad(4)\] cũng có \[2^{14}=16384=15p-11,\] vì thế
\[\begin{align*} 2^{28}\equiv& -330p+121\pmod{p^2},\\
3^2.2^{28}\equiv& -2970p+1089\pmod{p^2}\\
\equiv& -2969p-4\\
\equiv&\ 310p-4\pmod{p^2},\\
3^2.2^{28}\equiv& 2170p-28\pmod{p^2}\\
\equiv& -16p-28\pmod{p^2}.\end{align*}\]
Từ đó \[3^2.2^{28}\equiv -4p-7\pmod{p^2}.\] Từ định lý nhị thức ta có \[3^2.2^{28}\equiv (-4p-7)^7\equiv-7.4p.7^6-7^7\pmod{p^2},\] và \[3^14.2^{182}\equiv-4p-1\pmod{p^2}.\] Từ $(4)$ và $(5)$ ta có \[3^14.2^{182}\equiv-3^{14}\pmod{p^2},\,\quad2^{182}\equiv-1\pmod{p^2}.\] Từ đó \[2^{1092}\equiv 1 \pmod{p^2}.\]

$\square$

Định lý. $3$ không phải là một nghiệm Fermat đối với mod $1093$.

Chứng minh. Nếu $3$ là một nghiệm Fermat, lúc đó $3^7$ cũng là một nghiệm Fermat. Từ $-1$ rõ ràng là một nghiệm Fermat, và $3^7-1=2p$, ta thấy được sự vô lý từ Định lý 4.1

$\square$

Định lý. Không tồn tại số nguyên tố nhỏ hơn $100$ thoả cả $(1)$ và $(2)$ cùng lúc.

Chứng minh. Giả sử $2$ và $3$ đều là nghiệm Fermat. Lúc đó $2^l,\,3^m$ và $2^l3^m$ cũng là nghiệm Fermat, dĩ nhiên $1$ cũng là một nghiệm Fermat. Lúc này định lý sẽ theo Định lý 4.1 và bảng tính toán sau:\[\begin{align*}&2=3-1,\,\quad 3=2+1,\,\quad5=2+3,\,\quad 7=2^2+3,\,\quad 11=2+3^2,\\
&13=2^2+3^2,\,\quad 17=2^3+3^2,\,\quad 19=2^4+3,\,\quad 23=-2^2+3^3,\,\quad29=2+3^3,\\
&31=2^2+3^3,\,\quad 37=2^6-3^3,\,\quad 41=2^5+3^2,\,\quad 43=2^4+3^3,\,\quad 47=2^4.3-1,\,\\
&53=2.3^3-1,\,\quad 59=2^5+3^3,\,\quad 61=2^6-3,\,\quad 67=2^6+3,\,\quad
71=2^3.3^2-1,\\
&73=2^6+3^2,\,\quad 79=-2+3^4,\,\quad 83=2+3^4,\,\quad 97=2^4+3^4.
\end{align*}\]

$\square$

Gần đây Lehmer đã chứng minh được nếu $p<253,747,889$, khi đó sẽ phải tồn tại $m\le 47$ thoả $m^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}$. Việc này đã đóng góp cho định lý cuối cùng của Fermat.

Tags: , , ,

Reply

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *