Việc khẳng định sự tồn tại một số hoàn hảo lẻ là một bài toán khó và rất nổi tiếng. Ở chương trước ta thấy xác định một số hoàn hảo chẵn sẽ quy về việc xác định những số nguyên tố Mersenne, đó là số nguyên tố dạng $2^{n}-1,$ từ đó ta có sự tương ứng giữa những số nguyên tố Mersenne và những số hoàn hảo chẵn. Tuy nhiên, việc khẳng định có tồn tại vô hạn số nguyên tố Mersenne hay không lại là một vấn đề rất khó và chưa có lời giải trong lý thuyết số.
Định lý 10.1. Nếu $n>1$ và $a^{n}-1$ là một số nguyên tố, thì lúc đó $a=2$ và $n$ là một số nguyên tố.
Chứng minh. Nếu $a>2,$ lúc đó $(a-1)\mid\left(a^{n}-1\right)$ vì thế $a^{n}-1$ không thể là số nguyên tố. Ngược lại nếu $a=2$ và $n=kl,$ trong đó $k$ là một ước đúng của $n,$ lúc đó $2^{k}-1\mid 2^{n}-1$ vì thế $2^{n}-1$ không thể là số nguyên tố.
$\square$
Như vậy, bài toán xét tính nguyên tố của $2^n-1$ quy về việc xét tính nguyên tố của $2^p-1$ trong đó $p$ là số nguyên tố. Ta ký hiệu\[M_p=2^p-1\] và gọi $M_p$ là số nguyên tố mersenne. Cho đến năm 1981, các giá trị $M_p$ đã được kiểm chứng là số nguyên tố với
\[\begin{align*}p =& 2,\,3,\, 5,\, 7,\, 9,\, 13,\, 17,\,19,\, 31,\, 61,\, 89,\, 107,\, 127,\, 521,\, 607,\, 1279,\, 2203,\, \\ & 2281,\,
3217,\,4253,\, 4423,\, 9689,\, 9941,\, 11213,\, 19937,\, 21701,\, 2329,\, 44497.
\end{align*}\]
Vì thế ta sẽ có $27$ số hoàn hảo được biết đến tương ứng.
Tương tự với những số Mersenne, chúng cũng được cũng có khẳng định sau với các số gọi là số Fermat.
Định lý 10.2. Nếu $2^{m}+1$ là một số nguyên tố, lúc đó $m=2^{n}$
Chứng minh. Nếu $m=qr$, trong đó $q$ là ước lẻ của $m,$ lúc đó ta có \[2^{qr}+1=\left(2^{r}\right)^q+1=\left(2^{r}+1\right)\left(2^{r}\right)^{q-1}-\ldots +1\] và $1<2^r+1<2^{qr}+1,$ do đó $2^m+1$ không thể là số nguyên tố.
$\square$
Với mỗi số tự nhiên $n$, ta đặt \[F_n=2^{2^{n}}.\] Ta gọi những số có dạng như thế là số Fermat, năm số Fermat đầu tiên đó là \[F_0=3,\,\quad F_1=5,\,\quad F_2=17,\,\quad F_3=257,\,\quad F_4=65537\] chúng đều là những số nguyên tố. Ban đầu Fermat giả định rằng $F_n$ là số nguyên tố với mọi $n.$ Tuy nhiên đến năm $1732$ Euler đã chỉ ra rằng \[F_5=2^{2^{5}}=641.6700417.\] Vì thể giả định của Fermat là sai.
Chú ý. Ước của $F_5$ là $641$ được chứng minh như sau: Với $a=2^7,\,b=5 $ lúc đó $a-b^3=3,\, 1+ab-b^4=1+3b=2^4.$ Từ đó \[2^{2^{5}}+1 =\left(2a\right)^4+1=\left(1+ab-b^4\right)a^4+1=\left(1+ab\right)a^4-a^4b^4,\] và nó sẽ chia hế cho $1+ab=2^4+5^4=641.$
Chúng ta đã tìm thấy rất nhiều số Fermat là hợp số nhưng chưa tìm thấy số Fermat nào là số nguyên tố ngoại trừ năm số đầu tiên. Từ đó giả thuyết của Fermat có mộ sự không may mắn, và thực vậy giờ nó giả định rằng chỉ có hữu hạn số nguyên tố Fermat.
Ở đây có một vấn đề hình học rất thú vị liên quan tới $F_n$, Gauss đã chứng minh rằng nếu $F_n$ là một số nguyên tố, lúc đó một đa giác với $F_n$ mặt có thể dựng nên chỉ cần nhờ đến thước thẳng và compa.
No comments
Comments feed for this article
Trackback link: http://songha.maths.vn/cac-so-mersenne-va-cac-so-fermat/trackback/