Cho số nguyên dương $m$, và $n$ (với $n>1$) số nguyên khác $0$ là $x_1,\,x_2,\,\ldots ,\,x_n$. Biết rằng số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p^m\mid x_1$ còn $x_k$ không chia hết cho $p^m$ với mọi $k>1$. Chứng minh rằng:\[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \ldots + \frac{1}{{{x_n}}} \notin \mathbb Z.\]

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\gcd (a,\,b,\,c)=1$ và $$a\mid bc,\;b\mid ca,\;c\mid ab.$$ Chứng minh rằng $\dfrac{bc}{a}$ là một số chính phương.

Cho các số nguyên dương $a,\,b$ thỏa mãn $$a\mid b^2,\;b^3\mid a^4,\;a^5\mid b^6,\;b^7\mid a^8,\;a^9\mid b^{10}\ldots $$Chứng minh rằng $a=b$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn\[\left( {{3^n} + {4^n} + {5^n}} \right)\mid {60^n}.\]

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thỏa mãn $$2^n\mid P\left(3^n\right) \quad\forall\,n\in \mathbb N.$$

Cho trước các số nguyên dương $a$ và $n$ lớn hơn $1$, giả sử rằng với mỗi số nguyên dương $m$ đều tồn tại một số nguyên dương $r_m$ sao cho\[a\equiv r_m^n\pmod m.\]Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương $\alpha$ sao cho $a=\alpha^n.$

Tìm tất cả các hàm số $f:\,\mathbb Z^+\to\mathbb Z^+$ thỏa mãn\[f\left( {\frac{{f\left( n \right)}}{n}} \right) = {n^2}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]

Cho trước các số nguyên dương $a,\,b$ nguyên tố cùng nhau, dãy $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi $x_1=a,\,x_2=b$ và\[{x_{n + 2}} = \frac{{x_{n + 1}^2 + x_n^2}}{{{x_{n + 1}} + {x_n}}}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]Chứng minh rằng với $x_n\notin\mathbb Z\quad\forall\,n\ge 3$.

Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.

Với mỗi số thực $x$, ta ký hiệu $\left\| x \right\|$ là khoảng cách từ $x$ đến số nguyên gần $x$ nhất. Chứng minh rằng với các số nguyên dương $a,\,b$ luôn tồn tại số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $k$ thoả\[\left\| {\frac{a}{{{p^k}}}} \right\| + \left\| {\frac{b}{{{p^k}}}} \right\| + \left\| {\frac{{a + b}}{{{p^k}}}} \right\| = 1.\] 

Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1, với mỗi $s\subset {1,\,2,\,\ldots ,\,n},\,s\ne\emptyset$ ta ký hiệu $\pi(s)=\prod_{e\in s}e$. Chứng minh rằng với $k$ là số nguyên dương nhỏ hơn $n$ thì \[\prod_{j=k}^{n} \text{lcm}\left(1,\,2,\,\ldots,\,\left\lfloor \dfrac{n}{j}\right\rfloor\right)=\gcd\left(\pi(s):\;|s|=n-k\right).\]