Bài bất đẳng thức đề thi CHL 2018

Bài toán. Cho các số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $0<a<b<c$ và\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c &= 6,\\ab + bc + ca &= 9.\end{array} \right.\]Chứng minh rằng $a<1$ và $c<4$.

Lời giải. Ta có\[\begin{array}{l}
\left( {1 – a} \right)\left( {1 – b} \right)\left( {1 – c} \right) = 1 – \left( {a + b + c} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) – abc = 4 – abc.\\
\left( {4 – a} \right)\left( {4 – b} \right)\left( {4 – c} \right) = 64 – 16\left( {a + b + c} \right) + 4\left( {ab + bc + ca} \right) – abc = 4 – abc.
\end{array}\]

  1. Nếu $a\ge 1$ thì do $1\le a<b<c$, nên $(1-a)(1-b)(1-c)=4-abc\le 0$. Tuy nhiên khi $a\ge 1$ thì $b>1$ từ đó $c=6-a-b<4$, nên ta có điều vô lý là\[(4-a)(4-b)(4-c)=4-abc> 0.\]
  2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với chú ý là $a<b$, ta có\[\begin{array}{l}
    9 &= ab + \left( {a + b} \right)c\\
    &\le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} + \left( {a + b} \right)c\\
    &= \frac{1}{4}{\left( {6 – c} \right)^2} + \left( {6 – c} \right)c\\
    &= 9 + \frac{3}{4}c\left( {4 – c} \right).
    \end{array}\]Từ đó sẽ có $c<4$.

Tags: , ,

Reply

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *