Với $n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Khi phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố, ta quan tâm đến bậc của $p$ trong phân tích đó. Và có định lý của Legendre như sau.

Định lý 11.1. Với $p$ là số nguyên tố. Lúc đó số mũ đúng của $p$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của $n!$ là \[v_p\left(n!\right)=\left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^1}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^2}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^3}}}} \right\rfloor + \ldots \]
 Để ý rằng, chỉ có hữu hạn các số hạng khác không trong tổng trên.

Chứng minh. Từ \[\begin{align*}
n!=&1.2\ldots (p-1) \\
.p.&(p+1)\ldots (2p)\ldots (p-1)p\ldots \\
p^{2}&\ldots \\
.& \ \ldots
\end{align*}\]
ta thấy rằng là $\left\lfloor {\dfrac{n}{p}} \right\rfloor $ là bội của $p,$ $\left\lfloor {\dfrac{n}{p^{2}}} \right\rfloor $ là bội của $p^{2},$ và cứ thế mãi. Định lý được chứng minh xong.

$\square$

Định lý 11.2. Với các số nguyên dương $n$ và $r$ bất kỳ thì số \[ \dbinom{n}{r} = \dfrac{{n!}}{{r!(n – r)!}}\] là một số nguyên.

Chứng minh. Để ý rằng $\left\lfloor \alpha \right\rfloor – \left\lfloor \beta \right\rfloor $ sẽ bằng $\left\lfloor {\alpha – \beta } \right\rfloor $ hoặc bằng $\left\lfloor {\alpha – \beta } \right\rfloor + 1.$ Từ Định lý 11.1 ta thấy rằng số mũ của $p$ trong $\dbinom{n}{r}$ là \[\sum {\left( {\left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^m}}}} \right\rfloor – \left\lfloor {\dfrac{r}{{{p^m}}}} \right\rfloor – \left\lfloor {\dfrac{{n – r}}{{{p^m}}}} \right\rfloor } \right)}\ge 0. \] là một số tự nhiên.

$\square$

Ví dụ. Nếu $n=1000,\,p=3,$ lúc đó \[\left\lfloor {\dfrac{{1000}}{3}} \right\rfloor = 333,\,\quad\quad\left\lfloor {\dfrac{{1000}}{3^{2}}} \right\rfloor = \left\lfloor {\dfrac{{333}}{3}} \right\rfloor = 111,\] \[\left\lfloor {\dfrac{{1000}}{3^{3}}} \right\rfloor = 37,\,\quad\quad\left\lfloor {\dfrac{{1000}}{3^{4}}} \right\rfloor = 12,\,\quad\quad\left\lfloor {\dfrac{{1000}}{3^{5}}} \right\rfloor = 4,\,\quad\quad\left\lfloor {\dfrac{{1000}}{3^{6}}} \right\rfloor = 1.\] Từ đó số mũ đúng của $3$ là ước của $1000!$ là $333+111+37+12+4+1=498$.

Bài tập 1. Xác định số mũ đúng của $7$ là ước của $10000!.$

Bài tập 2. Xác định số mũ đúng của 5 là ước của $\dbinom{1000}{500}.$

Bài tập 3. Chứng minh rằng nếu $r+s+\ldots+t=n,$ lúc đó \[\dfrac{{n!}}{{r!s! \ldots t!}}\] là mộ số nguyên. Chứng minh thêm rằng là nếu $n$ là một số nguyên và $\max\left(r,\,s,\,\ldots,\,t\right)<n$, lúc đó số ở trên là bội của $n.$.