Với $m$ là một số nguyên dương cho trước và $f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ là một đa thức hệ số nguyên, chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình đồng dư\[f(x)\equiv 0\pmod m.\]Nhận xét rằng, nếu $x_0$ là một nghiệm của phương trình đồng dư trên thì với mọi số nguyên $t$ ta có $x_0+mt$ cũng là nghiệm. Điều đó cho thấy hễ $x_0$ là một nghiệm, thì lớp thặng dư sinh bởi $x_0$ cũng ta nghiệm. Bởi vậy, khi ta nói đến số nghiệm của một phương trình đồng dư thì ta hiểu đó là số các lớp thặng dư khác nhau thoả mãn phương trình.

Số nghiệm của phương trình đồng dư $f(x)\equiv 0\pmod m$ tất nhiên phụ thuộc vào đặc điểm của đa thức $f(x)$ và $m$, sau đây là một số ví dụ:

1. Phương trình $x^3-x\equiv 0\pmod 6$ có sáu nghiệm.
2.  Phương trình $x^2+1\equiv 0\pmod 3$ vô nghiệm.
3. Phương trình $(x-1)(x-p-1)\equiv 0\pmod{p^2}$ có $p$ nghiệm, cụ thể là các lớp thặng dư mod $p^2$ với các đại diện $x_k=1+kp$ với $k\in\mathbb N$ và $k<p$

Định lý 8.1. Với $\gcd\left( m_1,\,m_2\right)=1$. Khi đó số nghiệm của đồng dư $$f(x)\equiv 0\pmod {m_1m_2},\qquad(4)$$ là tích của các số nghiệm của các phương trình đồng dư sau $$f(x)\equiv 0\pmod {m_1},\qquad(5)$$$$f(x)\equiv 0\pmod {m_2},\qquad(6).$$Nếu \[m=m_1m_2=p_1^{l_1}\ldots p_s^{l_s}\quad \left( p_1<p_2<\ldots<p_s\right)\] là phân tích ra thừa số nguyên tố của $m$, lúc đó số các nghiệm thoả $(4)$ là tích của các số nghiệm của $s$ phương trình đồng dư đồng dư sau \[f(x)\equiv 0\pmod{p_i^{l_i}},\quad 1\le i\le s.\]

Chứng minh. Rõ ràng rằng mỗi nghiệm của $(4)$ đồng thời là nghiệm của $(5)$ và $(6)$. Đảo lại với $c_1,\,c_2$ lần lượt là các nghiệm của $(5)$ và $(6)$, và với $c$ là một nghiệm của hai đồng dư đồng thời \[c\equiv c_1\pmod{m_1},\] \[c\equiv c_2\pmod{m_2}.\]Và nghiệm $c$ là duy nhất mod $m$ theo Định lý Trung hoa. Đồng thời, nghiệm $c$ cũng thoả $(4)$ do $m_1\mid f(c)$, $m_2\mid f(c)$, vì thế kế hợp với $\gcd\left( m_1,\,m_2 \right)=1$ có $m\mid f(c)$.

$\square$